[Ö] Funktionsteori

Vad innebär att en funktion är holomorf i ett omårde? funktionen är komplext deriverbar I och KRING punkterna

Vad gäller om: f holomorf på omr. Ω och f'(z) = 0 på Ω? f konstant på Ω

Alla sammansättningar av elementära funktioner är kontinuerliga på dess definitionsmängd. Definiera: kontinuitet (f kont. i z=a) ⇔ (f(a) = f(z); z→a)

Om derivatans definition uppfylls för alla möjliga komplexa "gränsvärdesvägar" är funktionen holomorf i punkten. Återge: derivatans definition f'(z) = ( f(z+h)-f(z) )/h; h→0; h∈C

Om: f(x+iy) = u(x, y) + i*v(x, y) och u, v kont. deriverbara gäller det att: (f holomorf) ⇔ (C-R. ekvationer uppfyllda). Återge: Cachy-Riemanns ekvationer ∂u/∂x = ∂v/∂y, ∂u/∂y = (-∂v/∂x)

Vad gäller om: f holomorf och u eller v känd? den andra av u, v bestämd sånär på konstant av C-R. ekv.

Hur omskrivs f(x+iy) till f(z)? identitetssatsen ger: 1. sätt y=0, 2. sätt x=z

Definiera: harmonisk funktion, f Δf = ∇² = (∂²f / ∂x²) + (∂² f/ ∂y²) = 0

Vad gäller för u(x, y) och v(x, y) för att f ska kunna vara holomorf? u, v måste vara harmoniska

Definiera: argumentet, arg(z) mängden y för ett komplext tal: eˣ(cos(y)+i*sin(y))

Definiera: komplexa logaritmen, log(z) log(z) = ln|z| + i*arg(z)

Vad är skillnaden mellan Arg(z), Log(z) och deras motsvarigheter arg(z), log(z)? stor bokst.: funktion m. inskränkt def.mängd, liten bokst.: flervärd

För att få en funktion av flervärda funktioner som arg(z) och log(z), måste deras definitionsmängder inskränkas. Vilka är de 2 vanligaste sätten/"grenarna"? principial: C\[0, ∞), texas: C\[0, -i*∞)

Vad bör man tänka på angående logaritmlagarna? alla gäller ej om passerar över def.mängd "skåran"

Definiera: komplexa cos(z) och sin(z) cos(z) = (eⁱᶻ + e⁻ⁱᶻ)/2, sin(z) = (eⁱᶻ - e⁻ⁱᶻ)/2i

Återge: ML-olikheten ( |f(z)| ≤ M och L längd av γ ) ⇒ |∫γ f(z) dz| ≤ ML

Vad gäller för en holomorf funktions derivata? derivatan är också holomorf

Primitiver kan användas för att beräkna komplexa kurvintegraler. Har alla holomorfa funktioner en primitiv? nej, enbart holomorfa har primitiv MEN ej alla holomorfa

Återge: Cachys integralsats för område Ω (f holomorf på/kring Ω, ∂Ω) ⇒ ( ∮∂Ω f(z) dz = 0 )

Hur fungerar Cachys integralsats för områden med flera rand-delar? likt Greens formel, omr. alltid på vänster sida

Vad ger Cachys integralsats om f är holomorf på ett enkelt sammahängande område? att f har primitiv

Återge: Cachys integralformel för område Ω med rand, ∂Ω, av positivt orienterade kurvor? (f holomorf på/kring Ω, ∂Ω) ⇒ ( f((p) = (1/2πi * ∮∂Ω f(z)/(z-p) dz )

Det gäller att: (f begränsad) ⇔ (∃M∈R; |f(z)| ≤ M). Återge: Liouvilles sats (f holomorf, begränsad på C) ⇒ (f konstant)

Definiera: monoton (finns även "strängt monoton") växande ELLER avtagande

Definiera: supremum, sup() minsta övre begränsningen till funktion/talföljd

Hur löses en lineär rekursionsekvation? 1. Hitta homog.lösn., 2. hitta part.lösn, 3. lös ut eventuella konstanter

Definiera: harmoniska serien ᵏ⁼¹∑∞ 1/k = 1+1/2+1/3+..., vilken är divergent

Återge: formeln för geometrisk serie (första termen)/(1 - kvoten)

Vilket krav gäller för att en serie ens ska KUNNA konvergera? aₖ → 0; då k → ∞

Vilka tester kan avgöra om POSITIVA serier konvergerar? 1. div.testet, 2. jämförelset., 3. integralt.

Återge: jämförelsetestet på gränsvärdesform för POSITIVA serier aₖ, bₖ aₖ/bₖ→L; då k→∞: (0<L<∞) ⇒ (∑aₖ, ∑bₖ samma konv./div.-status)

Definiera: p-serie ∑1/kᵖ; (∑1/kᵖ konvergent) ⇔ (p > 1)

Vilka tester kan avgöra om ALLMÄNNA serier konvergerar (utöver de för enbart positiva serier)? 1. absolutkonv. ⇒ konv., 2. rot-/kvott., 3. Leibniz test för alternerande serier

Definiera: betingat konvergent serie serie, vilken är konv. men EJ absolutkonv.

Återge: Leibniz test för alternerande serier (∑aₖ alternerande ∧ |aₖ| avtagande ∧ aₖ→0) ⇒ ∑aₖ konvergent

Vilka metoder kan användas för att uppskatta felet, rn, som görs när en serie approximeras med dess n:te partialsumma? 1. jämf. rest med känd serie, 2. integralt., 3. Leibniz metod

Definiera: funktionsföljd, fₖ följd av funktioner

Definiera: punktvis konvergent funktionsserie, fₖ g.v. för ALLA fixerade x existerar då k→∞

Definiera: likformig konvergent funktionsserie, fₖ (||fₖ-f||→0; då k→∞) ⇔ (fₖ och f är likformigt konvergenta)

Det finns bara en funktion som en funktionsföljd ens kan tänkas vara likformigt konvergent med. Hur hittas denna? den funktion, vilken fk punktvis konvergerar mot

Definiera: funktionsserie, ∑fₖ funktionsföljd, bestående av summan av funktioner

Återge: räknereglerna för exponentiella Fourierkoefficienterna, cₖ 1. lineäritet, 2. cₖ( f' ) = ikΩ*cₖ( f )

Återge: regel 1 för konvergens av Fourierserier (f T-periodisk ∧ f 2ggr kont. deriv.bar) ⇒ (𝓕𝖘f(t) likf.konv. mot f)

Återge: regel 2 för konvergens av Fourierserier (f T-periodisk, kont. i t₀, f'+ och f'-existerar i t₀) ⇒ (𝓕𝖘f(t) konv. mot f(t₀) )

Vad gäller för Fourierserien, 𝓕𝖘f(t), i punkten t₀, där höger/vänster g.v. existerar för både f och f:s höger resp. vänster derivator? 𝓕𝖘f(t₀) konv. mot medelvärdet av höger/vänster g.v. i t₀

Definiera: Lⁿ - funktion (f ∈ Lⁿ) ⇔ (∫P |f(t)|ⁿ dt < ∞)

Vilka krav ställer Parsevals formel på funktionerna f och g? (f, g T-periodiska) ∧ (f, g ∈ L2)

Hur genomför man en halvperiodutveckling (vilket kan göras udda- resp. jämn för att ge sinus- respektive cosinus 𝓕𝖘ᵗʳⁱᵍf(t))? utvidga till jämn/udda och "kopiera" sedan grafen periodiskt

Definiera: potensserie ᵏ⁼⁰∑∞ aₖ(z-c)ᵏ; aₖ, c ∈ C

Hur tolkas 0⁰ för potensserier? som 1, då konstantterm då slipper plockas ut ur summan

Alla potensserier har en konvergensradie, R, kring punkten de är utvecklade i. Vad gäller utanför, på randen och i denna? div. utanf. ∧ okänt på rand ∧ abskonv. i ∧ likf. konv. lite innanför

Hur hittas en potensseries konvergensradie? mha kvot- eller rottestet

Vad gäller för en funktionsföljd/serie av holomorfa funktioner som konvergerar likformigt mot f på D? f är holomorf på D

Vilka egenskaper har potensserier? kan deriveras/integreras termvis, vilket ej föränd. konv.radien

Återge: Taylors sats för holomorfa funktioner på ett område, Ω∈C, där cirkelskivan, med radie R, D∈Ω? f kan skrivas som potensserie med konv.radie ≥ R

Återge: entydighetssatsen för holomorfa funktioner pot.serietutv. av holomorfa funk. är entydiga (dvs hittad serie är den enda)

Återge: faktorsatsen för holomorfa funktioner, f, på D (f ej alltid 0 ∧ f(p)=0) ⇒ f(z) = (z-p)*g(z); g holomorf på D

Återge: satsen om isolerade nollställen för holomorfa funktioner, f, på D (f ej alltid 0 ∧ f(p)=0) ⇒ finns omr. kring p där ej andra nollställe finns

Definiera: hopningspunkt mots. till "isolerad p.", dvs finns alltid liknande punkt kring den betraktade

Återge: identitetssatsen för holomorfa funktioner, f, på D (M={z; f(z)=g(z)} har hopn.punkter) ⇒ ( ∀z∈D: f(z) = g(z) )

Definiera: isolerad singularitet punkt c; f är holomorf KRING men EJ i z=c

Vilka 3 typer av singulariteter finns det? 1. hävbara singulariteter, 2. poler, 3. väsentliga singulariteter

Definiera: hävbar singularitet (för en isolerad singularitet av f i z=c) f begränsad kring z = c

Definiera: pol (för en isolerad singularitet av f i z=c) |f(z)| → ∞; z → c

Återge: Riemanns sats om hävbara singulariteter (för f med hävbar singularitet z=c) HOLOMORF g kan bildas; g(c) = L; f→L; då z→c

Återge: Residysatsen (för holomorf funktion, f, med isolerade singulariter, αₖ, där γ är en sluten positivt orienterad kurva kring alla αₖ) ∮γ f(z) dz = 2πi*∑ Res(f)

Vilka krav gäller för Residyreglerna 3 och 4? f måste ha enkel pol för givna residyn

Återge: Jordans lemma ∫ᶜ⁺ f(z)*eᵃⁱᶻ dz ≤ π/a * max|f(z)|; a > 0; z∈C🇷⁺

Skriv den homogena lösningen till en rekursionsekvation vars karaktäristiska ekvation ger en dubbelrot, r C₁rⁿ + C₂rⁿ*n

Vad bör göras med ett partikulärlösnings-försök, vilket är en del av den homogena lösningen, C₁r₁ⁿ + C₂r₂ⁿ? multiplicera med n

Hur kan cosh och sinh ges av de komplexa definitionerna av sin resp. cos? ta bort alla "i:n" för motsvarande trig.funktion

Återge: räknereglerna för absolutbelopp |ab|=|a||b| ∧ |a/b| = |a|/|b| ∧ |a+b| ≤ |a| + |b|

Återge: partialintegration av: ∫ uv dx ∫ uv dx= u*∫ v dx - ∫ u' * (∫ v dx) dx

Definiera: supremumnormen, ||f(z)||; z∈D sup( |f(z)| ); z∈D

Klicka

Skriv

Lyssna

Spel

Skriv ut