[Ö] Vektoranalys

Alla Inga Spara

• Definiera: vektorfält funktion, ℝ^n -- > ℝ^n, vilken förknippar varje punkt med vektor
• Definiera flödesintegral för ett vektorfält u̅ längs kurva γ ∫γ (u̅ │N̅) ds; N̅ är normerad normalvektor till γ
• Definiera arbetsintegral för ett vektorfält u̅ längs kurva γ ∫γ (u̅ │T̅) ds; T̅ är normerad tangentvektor till γ
• Definiera flödesintegral för ett vektorfält u̅ längs yta Ω ∫∫Ω (u̅ │N̅) dS; N̅ är normerad normalvektor till Ω
• Förklara varför skalärprodukt med normerad normal- repsektive tangentvektor används vid flöde-/arbetsintegraler integrerar längd av vektorfältets projektion
• Vilken roll spelar normalvektorns riktning vid flödesintegrering? riktning definierar positiv flödesriktning
• Återge Gauss sats i ℝ^2 ∫∂Ω (u̅ │N̅) ds = ∫∫Ω div(u̅) dxdy
• Återge Gauss sats i ℝ^2 ∫∫∂Ω (u̅ │N̅) dS = ∫∫∫Ω div(u̅) dxdydz
• Vilka krav finns för området Ω och normalvektorn N̅ vid användning av Gauss sats? Ω öppet begr. med rand ∂Ω, N̅ är utåtgående normerad normal till kurvan/ytan
• Definiera: divergensen, div(u̅), ∇•u̅ div(u̅) = ∂1u1 + ∂2u2 (+∂3u3 i ℝ^3)
• Hur kan man tänka på divergensen, div(u̅)? som källtätheten hos vektorfältet u̅ i given punkt
• Om div(u̅) = 0 saknas punktkällor i punkten. Vad gäller om div(u̅) är odefinierat i punkt? info saknas, måste undersöka område med/utan punkten
• Definiera: potentialfält/gradientfält/konservativt fält (u̅ = -∇f; f är reellvärd funk.) ⇔ (u̅ är potentialfält)
• Definiera: differentialform, ω ω = u1*(∂x/∂t) + u2*(∂y/∂t) = (u̅ │T̅) dt
• Definiera: exakt differentialform diff.form, vars motsvarande vektorfält är potentialfält
• Vilken ekvivalens gäller för potentialfält, u̅? (∫γ (u̅ │T̅) ds oberoende av väg) ⇔ (u̅ är potentialfält)
• Vilka implikationer gäller för potentialfält? ∫γ (u̅ │T̅) ds = f(p2) - f(p1) och (∂u1/∂y) = (∂u2/∂x)
• Definiera: rotationen, rot(u̅), ∇✖u̅ i ℝ^2 rot(u̅) = (∂u2/∂x) - (∂u1/∂y)
• Återge Greens formel ∫∂Ω (u̅ │T̅) ds = ∫∫Ω rot(u̅) dxdy
• Vilka krav finns för området Ω och tangentvektorn T̅ vid användning av Greens formel? Ω öppet begr. med rand ∂Ω, omr. insida till vänster
• Hur kan man tänka på rotationen, rot(u̅)? som vektorfältet u̅:s roterande förmåga i given punkt
• Vad gäller angående bas för divergens och rotation oberoende av vilken ON-bas
• Definiera: virvelfritt fält vektorfält, u̅, där rot(u̅) = 0 överallt
• Vad gäller för virvelfria fält, u̅, på enkelt sammanhängande områden, Ω? (dvs fält som saknar hål) u̅ är potentialfält och har potential
• Definiera: potentialen, f, för ett potentialfält, u̅ u̅ = -∇f

Alla Inga Spara