Tenta

Hur vet man om 2 vektorer är parallella? u|v = 0

Skalärprodukt kan användas för att hitta vinkeln mellan 2 vektorer. Vad är definitionen för skalärprodukt? ||u||*||v||cos(θ)

Vad innebär kryssprodukt? uxv skapar den ortogonala vektorn med längden av paralellogrammet som u och v spänner upp

Vad är definitionen av kryssprodukt? uxv = ||u||*||v||sin(θ)

Vad är kryssproduktslagarna? (uxv) = -(vxu) (au)xv = ux(av) = a(uxv) (u+v)xw = uxw + vxw

Vad är definitionen för ortogonalprojektion av u på v? u(orto) = (u|e)*e där u äe riktningsvektorn och e är v normerad

Vad innebär positiv orientering av u,v? Om den minsta vridningen mellan vektorerna för u till v är moturs

Vad innebär en ortsvektor? Vektorn från origo till en punkt

Om man har 2 punkter Poch Q, hur beräknas då PQ mha ortsvektorerna? PQ = PO + PQ = PO - OQ

Hur beräknas medelpunkten mellan 2 punkter A och B? 1/2(OA + OB)

Hur bestäms en linje på parameterfrom? (då (a, b) är riktningsvektor och (x0, y0) är punkt på linjen) L(x, y) = (x0, y0) + t(a,b)

Hur kan man kolla om en punkt ligger på en linje? Genom att sätta in punkten i linjens ekvation och se om entydigt t ges

Hur bestäms plan på parameterform? (Då vi har en punkt (x0, y0, z0) och 2 riktningsvektorer, u och v) P(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t*u + s*v

Hur ges linje på normalform? (då vi har punkt (x0, y0) och riktningsvektor v) n|v = 0 --> n = (a,b) --> L = a(x-x0) +b(y-y0)

Hur ges plan på normalform? ((då vi har punkt (x0, y0, z0) och riktningsvektorerna v och u) n = uxv --> n = (a, b, c) --> P = a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0)

Vad gör man egentligen när man tar fram linje och plan på normalform? Tar skalärprodukt u|v då u = (x-x0, y-y0, (z-z0) och v = n (normalvektor)

Vad innebär det när vi projecerar en vektor på plan/linje och får ny punkt? skapar linje med nya punkten och vektorn, hittar när de skär plan/linje

Vad motsvarar speglingegentligen, varför blir t 2 gånger större? Tänk att man ortogonalt projicerar punkt till plan och sedan ut från plan --> t x2

Hur kan arean i rummet, R2, beräknas och varför? uxv pga ||u||*||v||sin(θ) där ||u||=b och ||v||sin(θ)=h (rätvinklig triangel med ||v||=hyp)

Hur skiljer sig arean i R2 i jämförelse med area i ett plan i R3? vektorernas nya koordinat i R3 blir 0 dvs uxv = (a,b,0)x(c,d,0)

Om volymen i R3 ska beräknas utan determinant, hur gör man då? (om u och v spänner upp bottenarean och w är tredje vektorn) basen motsvaras av uxv och höjden är vinkelrät mot basen --> V = (uxv)|w

Vad innebär det att ett linjärt ekvationssystem har en, ingen eller oändligt många lösningar? En lösning = linjer skär i punkt Ingen lösning = linjer är parallella Oändligt = identiska linjer

Hur gäller det för homogena system; har de alltid en lösning? Homogena system har alltid lösning (0,0 ..., 0) men kan ha oändligt många

Vad krävs för att 2 matriser ska kunna multipliceras och hur ser den nya matrisen ut? mXn * nXo funkar pga första har n kolonner och andra n rader --> mXo för ny matris

Återge matrisers räknereglerna. (A+B)*C = AC + BC, a(AB) = (aA)B = A(aB) där a skalär, A(BC) = (AB)C

Om vi tar transponatet av AB, (AB)t, får vi: Bt*At

Vad gäller för invers matris? A*A(invers) = I (då I är enhetsmatrisen)

Om vi tar inversen av AB, (AB)invers, får vi: B(invers)*A(invers)

Vad ska man alltid göra eftr att man tagit fram A(invers) Testa så A*A(invers) = I

Hur kollar man om en matris är ortogonal? Kolla om kolonierna i matrisen har skalärprodukt 0

Hur förhåller sig At och A(invers) om A är ortogonal A (invers) = At

I ett linjärt ekvationssystem motsvarar ekvationerna ... och antal obekanta... antal ekvationer = dimension, antal obekanta = antal vektorer

Hur kollar man om vektorer är linjärt oberoende? 1. DetA = 0 (vektorer = kolonner i A) 2. a1*u1 + a2*u2 + ... + an*un = ō då a konstant ≠ 0

Vad säger dimensionssatsen? Rang+ nolldim=antal kolonner

Vad är RangA? Maximala antalet oberoende kolonner (värdemängdens dimension)

Vad är nolldimA och nollrummet? nollrum = alla lösningar till homogent system, nolldim = antal parametrar

Hur förändras dimensionen mellan linjärt rum och underrum? Dimensionen minskar till underrum

Vad ger determinantens tecken? - negativ orientering, + positiv orientering

Vad säger determinantens värde Determinanten motsvarar volymen/arean A spänner upp

system med parametrar är svåra att Gaussa, vad bör man göra istället? Ta ut koifficientmatris och beräkna detA. DetA=0 vid saknad/oändligt antal lösning

Vad händer om vi bytar plats på 2 rader i determinanten och varför? Bytar tecken pga bytar orienteringen

Hur förhåller sig determinanten med A o At? DetA = DetAt

om man bryter ut en konstant från determinanten, vad ska man tänka på? Attkonstant endast beyts ut från en kolonn i taget, konstnat blir upphöjd med antal kolonner

Hur kan 1/(det A) skrivas om och varför? När gäller detta? 1/(detA) = detA då detAt = detA(invers) OBS: gäller endast då A ortogonal (A(invers)=At

Då vi utvecklar efter rad/kolonn är det enklast att beräkna om över/under triangel skapas, varför? Då alla underdeterminanter multipliceras ned 0, endast diagonalelementens produkt behöver beräknas

Hur går teckenmönstret för raderna i determinantendå vi utvecklar vad/kolonn? Rad 1: +-+-... Rad 2: -+-+... osv

Vad är ett knep vid utveckling av rad/kolonn? stryk rad/kolonn som utvecklas och täck rad/kolonn som används för enklare se underdeterminant

vad är ett knep för att se vad avbildningsmatris gör? Spegling S²=I, Projektion P²=P

Vad innebär det att en matris är injektiv? då varje x motsvrar ETT y (ex, ortogonal projektion INTE injektiv)

Vad innebär det att en matris är surjektiv? Att värdemängden motsvarar hela målmängden (ex. projektion ej surjektiv då vi hamnar i plan trots rum)

Determinanten kan ge oss volymförändringen vid avbildning, hur? DetA värde, då A avbildningsmatris, motsvarar volymskaleringen A ger

Vad innebär det att F är isometrisk? Att vinklar och längder bevaras

Vid basbyte finns flera samband. Hur hittas nya avbildningsmatrisen Â? S(invers)*A*S = Â där A är gamla avbildningsmatrisen och S tar oss från ny bas till gammal bas

Hur hittas nya koordinater i ny bas? x =Sx̌ där x är gamla koordinater och x̌ är nya

kolonierna i S motsvarar? nya basvektorers koordinater (i gamla koordinater)

Vad innebär ortonomerat basbyte och vad gäller då gör S? de nya basvektorerna är ortogonsla och nlrmerade, gör S ortogonal

Hur beräknas egenvärden och varför? Sökerlösning på Ax=ax, x≠0 --> det(aI -A) = 0 saknar entydig lösning

Hur beräknas sedan egenvektorerna och vad ska man vara uppmärksam på? sätt in beräknat egenvärde i (aI-A)x = 0 SKA GE LÖSNING PÅ PARAMETERFORM

Vad är egenvektorer geometrisk sett? De vektorer som efter avbildning kan skaleras, med egenv.rdet, och bli sig själv igen

Vad innebär diagonalisering? Ny bas så avbildningsmatris blir I men med egenvärdena som diagonalelement

Vad bör man göra vid potenser av matriser och varför? Diagonalisera matris och potenser gör att egenvärdena (diagonalelementen) höjs till potens

Vad är minsta kvadratmetoden och vad gör den? Ger ett approximerat värde (skapar kvadratiskt system)

Vad är definitionensv minsta kvadratmetoden? (vad gör man) Multiplicera höger och vänsterled med At --> skapa kvadratiska matriser. Lös nytt system

Vad gäller för determinater vid sammansatta avbildningsmatriser? Om C = AB, där A och B är avbildningsmatriser, är detC =0 om detA=0 och/eller detB =0

Om vi tar uxv och skapar w, vilken orientering får vektorerna? u, v, w har positiv orientering

När är matrisen A inte diagonaliserbar? Då egenvärdets multiplicitet ≠ geometrisk multiplicitet (multiplicitet 2 krävs plan eller 2 egenvektorer)

Vad är ett linjärt underrum, hur bevisas detta? 2 olika vektorer i underrummet M kan adderas alt. skaleras och fortfarande vara i M

Vad är kolonnrummet och vad motsvarar dess dimension? Kolonnrum är dimensionen av avbildningsmatrisens output, dimensionen är värdemängden

Om avbildningsmatrisen A har egenvektorn x med egenvärdet q, har A(invers) så en egenvektor och vadcär dess egenvärde isåfall? Ax = qx <-> x = A(invers)*qx <-> (1/q)x = A(invers)x, har egenvektor med egenvärdet 1/q

Klicka

Skriv

Lyssna

Spel

Skriv ut