Tenta

Alla Inga Spara

• Vad menas med en kompakt mängd? Den är sluten (randen ingår) och begränsad (går ej mot ± ∞)
• Hur tar man reda på hur en kropp ser ut? Ansätt en av axlarna till 0 och se hur den skär planen
• När uppstår rotationssymmetri? Då axel = f(r) och r = sqrt(x^2 + y^2) är det symmetri runt axel
• Vad för yta skapas då f(x, y, z) saknar en av variablerna? En ränna skapas då
• För rymdpolära koordinater finns 2 vinklar, φ och θ. Vilken ligger vart och vad går de mellan för gränser? 2π ≥ φ ≥ 0 i xy-plan och π ≥ θ ≥ 0 ut från z-axel
• Vad är nivåkurvor? Kurvor vars punkten i xy-planet, alla motsvarar visst z-värde
• Vad är skillnaden på reelvärda och vektorvärda funktioner? Vektorvärda funktioner "spottar ut" i högre dimension än ℝ
• Vad gäller för värdemängden och definitionsmängden vid sammansättning av funktioner? Hur måste de förhålla sig för att sammansättningen ska vara möjlig? f∘g, det g spottar ut måste f kunna ta in
• I flerdim krävs andra metod för att lösa gränsvärden då vi nu kan närma oss punkten p på oändligt många håll. Hur löses gränsvärden i flerdim.? Polära koordinater, skriv f - A --> 0, uppskatta bort φ, instängning
• Vad är ekvationen för tangentplanet till ytan f(x, y)? z = f(a, b) + f'x(a, b)(x - a) + f'y(a, b)(y - b)
• Vad är riktningderivatan och hur beräknas den? f'v(a, b) = (f'x(a, b) , f'y(a, b)) • (v1 , v2) derivatan i v's riktning
• Vad måste gälla för v då riktningsderivatan beräknas, dvs när skalärprodukten mellan v och gradienten tas? v måste vara normerad!
• Hur hittas den brantaste lutningen och varför? Den är alltid i gradientens riktning då cosθ = 1 i skalärprodukten
• Vad gäller för gradienten på en nivåyta/kurva? Den är alltid vinkelrät mot nivåkurvan/ytan
• Vid svåra diff.ekvationer kan variabelbyte förenkla. Hur ska man göra när det finns derivator och ett variabelbyte? f'x = f'u*f'x + f'v*f'x OM f'' bevara f'u och f'v och notera f''x = (f'x)'x
• Hur hittas intressanta punkter då extrempunkter söks? Stationära punkt (a, b) då grad(a, b) = (0, 0)
• Hur studeras ytors extrempunkters karaktär i flerdim.? Vad måste gälla för de olika karaktärerna? Kvadratisk form: (max Q(h,k) < 0) (min Q(h,k) > 0 då (h, k) ≠ (0, 0)
• Hur beräknas kvadratiska formen, Q(h, k)? Q(h, k) = f''xx(a, b)h^2 + 2f''xy(a, b)hk + f''yy(a, b)k^2
• Hur bestäms tecknet av den kvadratiska formen? Kvadratkomplettera: (bara en kvadrat --> indefinit)
• Vad gäller för Q(h, k, l)? När är den semidefinit? Endast definit då det är 3 kvadrater efter kvadratkomplettering
• Hur görs optimering i ett kontinuerligt, kompakt område? 1. lokala extrem-p., 2. extrem-p. på rand, 3. extrem-p. på hörn
• Hur studeras extrempunkter på randen? Parametrisera varje randbit , sätt in i f så vi får värde + se om p i område
• Vad menas med att studera hörnen vid optimering? Att titta på randens ändpunkter
• Hur görs optimering i ett icke-kompakt område? Skapa kompakt område, D och optimera, gränsvärde(f) då vi lämnar D
• Hur löses optimering med bivillkor? Sök gradf || grad g samt bivillkor g(x, y) = nivåkurvas värde
• Vad gäller då bivillkoret vid optimering är en kompakt mängd? max och min måste existera
• Vad bör observeras om la granges multiplikatormetod används för att se om 2 vektorer (gradienter) är parallella? Att fallet då en vektor är nollvektorn måste kollas separat
• Vad är funktionalmatrisen? Vektor med alla gradienter, dvs matris med alla prtiella derivator
• Vad beskriver funktionaldeterminanten? Volym-/area-förändringen vid kordinatbyte
• Hur kan variabelbyte underlättas? Genom funktionalmatriser [f'x ] = [f'u f'v][u'x v'x]
• När kan en punkt (x, y) uttryckas som (x, f(x))? Då grad F ej är horrisontell, dvs F'y ≠ 0 (vise versa då x uttrycks i y)
• När kan dubbelintegraler skrivas om som 2 enkelintegraler multiplicerade med varandra? Parametrarna x och y är helt separerbara samt D är axelparallell rektangel
• Vad skall observeras vid varieblbyte för enklare beräkning av integraler? Multiplicera med funktionaldeterminanten!
• Vad är (d(x, y) / d(i, j)) för polärt koordinatbyte och rymdpolärt koordinatbyte? polärt: r, rymdpolärt: r^2sinθ
• Hur kan areor/volymer beräknas med dubbel/trippel-integraler? Integrera över 1
• Hur beräknas generaliserade integraler i flerdim.? Genom gränsvärde då gräns går mot oändligheten
• Hur beräknas massa med trippelintegraler? dm = ρ*dV --> m = ∫ρ(x, y, z) dxdydz (dxdydz = dV)
• Hur beräknas masscentrum? Beräkna massa, x(Tyngd-p.) = (1 / ∫dm) * ∫x dm där ∫dm är massan
• Hur beräknas tröghetsmoment? J = ∫r^2 dm = ∫∫∫r(x, y, z)^2 * ρ(x, y, z)dxdydz
• Hur beräknas kurvintegralen över kurvan a och vad beskriver den? Arbetet fältet utövar då sak går längs a, ∫ Pdx + Qdy med a som gränser
• Vad ska göras först då vi beräknar kurvintegral? Parametrisera kurvan för att skapa enkelintegral
• Om kurva parametriserad ger svår integral finns ett annat knep, vad? Greens formel: ∫∫ ∂Q/∂x - ∂P/∂y dxdy
• Vad måste gälla för att vi ska få använda greens formel? Slutet område, inga odef punkter i D, gå i positiv orientering
• Vad händer med kurvintegralen om vi använder greens formel trots att vi inte går i positiv riktning, dvs har området på vänster sida? Integralen bytar tecken
• Vad måste gälla för att (P, Q) ska vara ett potentialfält? Om U(x, y) existerar så att gradU = (P, Q) är (P, Q) potentialfält
• Om (P, Q) är potentialfärlt är integralen oberoende av väg. Hur kan detta utnyttjas? Insättningsformeln: U(x1, y1) - U(x0, y0)
• Vad händer med greens formel då (P, Q) är potentialfält? ∂Q/∂x = ∂P/∂y
• Vad innebär det om ∂Q/∂x = ∂P/∂y, dvs greens formel blir ∫∫ 0 dxdy och att området D är enkelt sammansatt, dvs inte har några odefinierade punkter? Då är (P, Q) säkert ett potentialfält
• Hur läses den kvadratiska matrisen av för hessianen då man söker punkters karaktär? Det < 0 --> sadel, Det > 0 OCH spår > 0 --> positiv def. spår < 0 --> negativ def.
• Hur ser de kvadratiska matrisen för hessianen ut? [f''xx f''xy , f''yx f''yy]
• Vilken partiell derivata ska var skild från noll för att y ska kunna uttryckas som f(x) nära en punkt (a, b)? f'y ≠ 0
• Vad är formeln för partialintegration? ∫u dv = uv - ∫v du

Alla Inga Spara