Funktionsteori

CauchyRiemans ekvationer f(x, y)= u(x, y)+iv(x, y) (ekv 1, ekv 2) u'x=v'y, u'y=-v'x

Harmonisk funktion ekvation, laplace operatorn u''xx+u''yy=0

|R(z)| ≤ 4*|an/bm|*|z|^n-m

≤|R(z)| 1/4*|an/bm|*|z|^n-m

(|) log(z)= ln(|z|)+iarg(z)

z^a= e^a*log(z)

Om en kurvintergral är noll och inte överskrider dess poler är kurvan XX och f YY på hela området (XX, YY) sluten, holomorf

Om f är holomorf på hela C och är begränsad. Då måste f vara konstant

Om a inte är uppåt begränsad så säger vi att sup M = oo

Homogenlösning för enkelrötterna r₁ och r₂. x_ⁿ= C₁*r₁ⁿ+C₂*r₂ⁿ

Homogenlösning för dubbelrot r. x_ⁿ= (C₁+n*C₂)*rⁿ

Om lösningen till den inhomohena ekvationen är en dubbelrot så multiplicerar man in n²

Sum(C*rⁿ, n=0..oo)= (|z|<1) C/(1-r)

Geometrisk summa; Sum(C*r^k, k=0..k=N)= C*(1-r^N+1)/(1-r)

(K = konvergent serie, D = divergent serie). K+K= K

(K = konvergent serie, D = divergent serie) K+D= D

(K = konvergent serie, D = divergent serie) D+D= vet ej

L = lim k-> oo(aₓ/bₓ) < +oo. Och bₓ konvergent => aₓ konvergent

L = lim k-> oo(aₓ/bₓ) > 0 Och bₓ divergent => aₓ divergent

Varje absolutkonvergent serir är konvergent

Kallas en serie om den är konvergent men ej absolutkonvergent. betingat konvergent

(|) Kriterier för Libniz test (1-3). Partialsumman aₓ aₓ alternerande, |aₓ| avtagande, aₓ->0 då k->oo

Ekvation för punktvis konvergens. f gränsfunktion, fₓ funktionsserie f=lim x->oo(fₓ)

Ekvation för likformigt konvergent. f gränsfunktion, fₓ funktionsserie lim x->oo(sup(|fₓ-f|))=0

(|)Weiestrass M-test: Sum(Mₓ) konvergerar. Sum(uₓ(x)) konvergerar likformigt om |uₓ(x)|≤Mₓ

Fourierserier, vänste och högerderivator existerar i x =t. FS = 1/2*(f(t+0)+f(t-0))

Kallas en funktionsserie om det för varje punkt existerar en potensserie med positiv konvergensradie analytisk

Konvergensradien för en holomorf funktion är närmaste avståndet till en singularitet

(|)Definitionen av en pol av f(z) i punkten c lim z->c(|f(z)|)=oo

Jordans lemma: |I(f(z)*e^iat)| ≤π/a*max|f(z)|

Tillvägagångs sätt för att skrivaom f(x, y) till f(z). Sätt y=0 och x=z

Skriv som sinus av x; k st vanliga perioder över 2π = sin(k*x)

D(arctan(x))= 1/(1+x²)

cos(x+y)= cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y)

cos(x-y) cos(x)*cos(y)+sin(x)*sin(y)

sin(x+y)= sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)

sin(x-y) sin(x)*cos(y)-cos(x)*sin(y)

J =jämn funktion, U =udda funktion: J*J= J

J =jämn funktion, U =udda funktion: U*J= U

J =jämn funktion, U =udda funktion: U*U= J

(a k)= a!/k!*(a-k)!

Om f(z) har en hävbar singularitet i z=c Res z=c(f(z))= 0

Click