[M] Endimensionell Analys B2

Hur beräknas division av komplexa tal? förläng med konjugatet → reell nämnare

Definiera konjugatet av ett komplext tal: a+bi a-bi

Definiera argumentet av ett komplext tal: r(cosθ + i*sinθ) θ, dvs vinkeln på vektorn som representerar talet i C-tal-planet

På vilka 3 former kan komplexa tal skrivas? a+bi (rekt. form), r(cosθ + i*sinθ), e^(iθ) (polär form)

Hur beräknas absolutbeloppet av ett komplext tal, a+bi? |a+bi| = sqrt(a² + b²)

Hur beräknas absolutbeloppet i kvadrat av ett komplext tal, z? |z|² = zz* (z* är z:s konjugat)

Återge triangelolikheten för komplexa tal. |z+w| <= |z| + |w|

Återge hur två komplexa tal, r*eⁱᵃ och p*eⁱᵇ, multipliceras? r*p*eⁱ⁽ᵃ⁺ᵇ⁾ (absolutbeloppen mult., argumenten adderas)

Återge de Moivers formel. (eⁱᵗ)ⁿ = eⁱᵗⁿ

Återge Eulers formler. cos(θ) = (eⁱᵗ+e⁻ⁱᵗ)/2 och sin(θ) = (eⁱᵗ-e⁻ⁱᵗ)/2

Återge algebrans fundamentalsats. icke-konst. polynom har lika mga nollställen som grad (inkl multiplicitet)

Vad gäller för polynom med reella koefficienter? 1. konjugerande rötter, 2. kan faktoriseras till reella högst grad 2

Ange standardprimitiven till: 1/(cos(x))² tan(x) + C

Ange standardprimitiven till: 1/sqrt(1 - x²) arcsin(x) + C

Ange standardprimitiven till: 1/sqrt(1 + x²) arcsinh(x) + C

Vad är ett krav för att primitiv ska existera till en funktion på ett intervall? funktionen måste vara kontinuerlig eller monoton på intervallet

Vilken egenskap har primitiver/integrering? lineäritet

Återge formeln för partialintegration för primitiv av f(x)g(x) dx. F(x)g(x) - ∫( F(x)g'(x) )dx

Vilka 2 steg används vid primitivbestämning av rationella funktioner? 1. Polynomdivision, 2. Partialbråksuppdelning

Vilken partialbråksuppdelnings-ansats ger faktorn: (x+a)² A/(x+a) och B/(x+a)²

Vilken partialbråksuppdelnings-ansats ger faktorn: (x² + a) (Ax+B)/(x² + a)

Hur kan primitiv till en rationell funktion med en irreducibel nämnare av grad 2 hittas? dela upp → a*ln|?| + b*arctan(?)

Hur definieras integralen på ett intervall [a, b]? talet mellan alla överfunktioner och underfunktioner

Hur definieras (Riemann)-integrerbarhet på [a, b]? för varje ε>0 finns över- och undefunk. så differensen < ε

Ge exempel på en icke-integrerbar funktion. f = 1; x∈Q och 0; x∉Q

Hur definieras Riemannsummor? rektanglar av delintv. och random funk.värde → går mot integral vid finare indelning

Återge triangelolikheten för integraler. | ∫ f dx | <= ∫ | f | dx

Återge medelvärdessatsen för integraler på kontinuerligt intervall [a, b]. finns ξ∈[a, b] så att: f(ξ)=1/(b-a) * ∫f(x)dx

Återge analysens huvudsats för integraler på kontinuerligt intervall [a, b]. s(x) = a∫b f(t)dt, har derivatan f(x) på intervallet

Återge insättningsformeln för integraler på kontinuerligt intervall [a, b]. a∫b f(x) dx = F(b) - F(a); F'(x) = f(x)

Vad bör man vara uppmärksam angående variabelbyte och integrering? variabelbyte → ändrade integrationsgränser

Vad bör man vara uppmärksam på vid generaliserade integraler enligt deras definition? 2 oegenligheter i samma integral får ej förekomma → dela upp

Vad gäller för divergens hos integraler och dess delinterval? om divergent på delinterval → hela integralen divergent

Återge jämförelsekriterum för en funktion f; 0 < f < g på hela intervallet. om g konvergerar så konvergar även f

Återge jämförelsekriterum för två positiva funktioner f och g, vilka: lim x → ∞ f/g existerar. a∫∞ f(x) dx konvergent ⇔ a∫∞ g(x) dx konvergent

Hur kan en exaktare summauppskattning med integraler fås? genom att beräkna fler termer explicit

Återge Cauchys integralkriterium för en positiv och avtagande funktion f. aΣ∞ f konvergent ⇔ a∫∞ f dx konvergent

Definiera absolutkonvergens för en integral. konvergensstatusen om absolutbeloppet av funk. integreras

Återge formeln för en funktion, f(x), kurvlängd, s: s = a∫b sqrt(1 + f'(x)²) dx

Återge formeln för längd, s, av kurvor på parameterform, där x=X(t) och y=Y(t). s = a∫b sqrt( X'(t)²+ Y'(t)² ) dt

Hur kan man komma ihåg kurvlängdsformeln för parametriserade kurvor? sqrt( X'(t)² + Y'(t)² ) ses som partikelns fart - dvs X och Y är hastighetsvektorer

Återge skivformeln om A(x) ger tvärsnittsarean av en kropp vid varje värde på x. V = a∫b A(x) dx

Hur beräknas massan av ett endimensionellt föremål? integrera densiteten över kurvlängden

Vilket krav utnyttjas för att hitta ett föremåls tyngdpunkt? jämviktskravet → integralekvation

Återge Pappus regel om volymer, V, för rotationskroppar. V = arean*(tyngdpunktens väg)

Återge Pappus regel om mantelareor, A, för rotationskroppar. A = 2π*kurvlängden*(tyngdpunktens väg)

Vad bör man vara uppmärksam över vid integraler av funktioner på formen: sqrt(r - (x+a)²) bildar halvcirkel → enkel areaberäkning

Återge formeln för cirkelns area: πr²

Återge formeln för cirkelns omkrets: 2πr

Definiera: jämviktsläge för diff.ekv läge, vilket ger konstant lösn. till diff.ekv

Definiera: stabilt jämviktsläge för diff.ekv läge, vilket lägen kring konvergerar mot

Definiera: instabilt jämviktsläge för diff.ekv läge, vilket värden kring ej konvergerar mot

Varför ger alla integralekvationer alltid ett begynnelsevärde? då a∫a f dx = 0, ger värde

Vilken lösningsform har alla lineära diff.ekvationer? y = yₕ + yₚ

Hur hittas homogena lösningen, yH, till lineära diff.ekvationer? lösning av karakteristiska ekvationen

Vilken blir lösningsformeln för lineära diff.ekv med karak.ekv. nollställen: λ₁ ≠ λ₂; där nollställena är reella Ae^(λ₁*x) + Be^(λ₂*x)

Vilken blir lösningsformeln för lineära diff.ekv med karak.ekv. nollställen: λ₁ = λ₂ (Ax+B)e^(λx)

Vilken blir lösningsformeln för lineära diff.ekv med karak.ekv. nollställen: z₁ ≠ z₂; där nollställena är komplexa e^(Re(z)x)(A*cos(Im(z)x)+B*i*sin(Im(z)x))

Vad gäller för homogena lösningar med ett nollställe med högre multiplicitet? nollstället får polynom av (multipliciteten-1) framför

Vad görs då partikulärlösningsformen ingår i homogena lösningen? sätt polynom av högre grad än multipliciteten framför

Vad bör man vara uppmärksam för angående Maclaurin- och Taylorutveckling? ger bara uppskattning kring valda punkten

Återge formeln för Maclaurinpolynomet av f. P(x) = f(0)/0! + f'(0)x/1! + f''(0)x²/2! + ...

Återge formeln för Lagranges restterm för Maclaurinpolynomet av f. R(x) = f'n+1'(ξ) * x^(n+1) /(n+1)!; 0<=ξ<=x

Definiera Maclaurinserie/potensserie/"Power series". Maclaurinpol. av ∞ grad, vilket kan beskriva funktion exakt

Återge formeln för Taylorpolynomet av f kring x=a. P(x) = f(a)/0! + f'(a)*(x-a)/1! + f''(a)*(x-a)²/2! + ...

Återge formeln för Lagranges restterm för Taylorpolynom av f kring x=a. R(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) * (x-a)⁽ⁿ⁺¹⁾/(n+1)!; a<=ξ<=x

Vilka komplexa faktorer kan tillsammans bilda reella faktorer av deg 1? de utan realdel

Skriv om: cos²(x) (1+cos(2x))/2

Skriv om: sin²(x) (1-cos(2x))/2

Varför kan alltid a²+b² lösas ut vid ansatslösning till komplexa polynomekvationer? då |z²| = |z|²

Återge hyperboliska 1:an. cosh²-sinh² = 1

Vad bör man vara uppmärksam med angående användning av jämviktsekvationen för att hitta tyngdpunkt? ska integrera massan GÅNGER momentarmslängden (dvs x)

Vad måste först visas för att använda integraluppskattning av summor? positivitet och avtagande

Vad måste först visas för att använda jämförelsekriteriumen? positivitet

Vad bör man tänka på då OLIKHETER respektive LIKHETER ska markeras i C-talplanet? olikheter ger OMRÅDE, likheter ger, LINJE

Click

Type

Listen

Games

Drucken