[M] Lineär Algebra

Hur kan det visas att ett lineärt ekvationssystem har oändligt antal lösningar? genom parametrisering

Vad är ett homogent ekvationssystem? HL = 0

Definiera: bas uppsättning vektorer som ENTYDIGT beskriver alla vektorer i vektorrum

Återge kraven för en bas i vektorrum med dimensionen n. n st lineärt OBEROENDE vektorer

Definiera: dimension antalet vektorer som krävs för att utgöra bas

Definiera: lineärt beroende k₁*v₁ + ... + kₙ*vₙ = 0 har fler lösningar än k₁=...=kₙ=0

Vad krävs för ett koordinatsystem? bas och referenspunkt (origo)

Återge ekvationen för planet med (A, B, C) som normal. Ax+By+Cz=D

Återge de 2 sätten som skalärprodukten kan beräknas. 1. |u|*|v|*cos(θ), 2. u₁*v₁ + ... + uₙ*vₙ

Hur genomförs ortogonal projektion? u' = (u | e)*e på alla basvektorer e i ON-bas

Är skalärprodukten lineär? ja, skalärprodukten är lineär

Hur är avstånd definierat i Euklidiska rum? (u | u) = |u|²

Återge ekvationen för: ellipsen (x/a)² + (y/b)² = 1

Återge ekvationen för: hyperbeln (x/a)² - (y/b)² = 1

Återge sambandet mellan halvaxlarna a, b och avståndet, c, till brännpunkten för: ellipsen c² = a² - b²

Återge sambandet mellan halvaxlarna a, b och avståndet, c, till brännpunkten för: hyperbeln c² = a² + b²

Vad ger vektor-/kryssprodukten? positivt orienterad ortogonal vektor med längden = parallellogramets area

Skriv om uttrycket: (u + v) 𝔁 w (u 𝔁 w) + (v 𝔁 w)

Skriv om uttrycket: (s*u) 𝔁 w s*(u 𝔁 w)

Vad ger volymprodukten/determinanten? volymen 3 vektorer spänner upp (MED TECKEN)

Ange ett uttryck för volymprodukten. V(u, v, w) = (u 𝔁 v) | w

Definiera: matrisinvers A⁻¹ A*A⁻¹ = E (ekvivalent med: A⁻¹*A = E)

När är en matris, A, inverterbar? då det(A) ≠ 0

Hur beräknas en matris invers? använd AX = Y och skriv om uttryckt i X=A⁻¹*Y

Skriv om uttrycket: (AB)ᵀ Bᵀ * Aᵀ

Skriv om uttrycket: (AB)⁻¹ B⁻¹ * A⁻¹

Skriv om uttrycket: (A⁻¹)ᵀ (Aᵀ)⁻¹

Vad gäller angående nollvektorn och lineära rum/underrum? nollvektorn är element i alla lineära rum/underrum

Återge de 2 viktigaste kraven (utöver de normala vektor-räkne-reglerna) för lineära rum. 1. u+v är fortf element i rummet, 2. k*u är fortfarande element i rummet

Definiera: Rⁿ mängden ordnade listor med n element (kan beskrivas med nx1-matriser)

Definiera: lineärt underrum lineärt rum som är delmängd av ett annat lineärt rum (dim U <= dim V)

Definiera: nollrummet, N(A) mägden av alla lösningar X till: AX=0

Definiera: värderummet, V(A) mängden av alla lineär kombinationen av A:s kolonnvektorer

Definiera: lineära höljet, [u, v, w] mängden lineär kombinationer som ett antal vektorer spänner upp

Definiera: lineär avbildning funktion som uppfyller: 1. F(X+Y) = F(X)+F(Y), 2. F(k*X) = k*F(X)

Återge: dimensionssatsen dimN(F) + dimV(F) = n (där n är dimensionen på "input-rummet")

Definiera: Euklidiska rum lineärt rum med en definierad skalärprodukt (som uppfyller reglerna)

Vilka regler ska en skalärprodukt uppfylla? 1. lineäritet, 2. (u|v)=(v|u), 3. (u|u)>=0

Definiera: ortonomerad mängd mängd av inbördes ortogonala vektorer med längden 1

Definiera: ortogonal matris kolonnvektorerna är ON-bas, Q * Qᵀ = Qᵀ * Q = E (dvs Qᵀ = Q⁻¹)

Definiera: QR-faktorisering A = QR (Q ortogonal, R högertriangulär)

Hur genomför man en QR faktorisering? Gram-Schmidt → Q, Qᵀ*A = Q⁻¹*A = R

Definiera: ortogonala komplementet alla vektorer vinkelräta mot underrum U, dvs skalärprodukt 0 m. U:s bas

Återge dimensionssatsens applikation på ortogonala komplement. dimU + dimU⊥ = dim V (V är hela rummet)

Återge hur minsta kvadratmetoden ger bästa approximativa lösning till LES. ⊥projektion på V(A) ger normalekvationen: Aᵀ * AX = Aᵀ * Y

Vad är en permutationsmatris och hur ser de ut? matris med endast 0:or utom en 1:a per rad/kolonn → permuterar rader/kolonner

Definiera: LU-faktorisering A = LU (L undetriangulär, U övertriangulär)

Hur genomför man en LU-faktorisering? skriv Gauselimination på matrisform och använd invers

Definiera: rang(A) rang(A) = dimV(A) = radrang(A) = kolonnrang(A)

Varför gäller att om kolonnerna i A är en bas är även raderna det i en KVADRATISK MATRIS. då radrang(A) = kolonnrang(A)

Utifrån vilka 3 krav definieras determinanten? 1. lineärt beroende av kolonnerna, 2. det(A)=0 om två kolonner lika, 3. det(E) = 1

Vad kan göras med en determinant för att ändra dess tecken? byta plats på 2 rader/kolonner

Vad kan göras med en determinant för ej ändra dess värde? addera skalerad rad/kolonn till ANNAN

Vilket mönster av +/- tecken används vid utveckling efter kolonn/rad i determinant? schackmönster

Återge: symmetrisatsen det(A) = det(Aᵀ)

Återge: produktsatsen det(AB) = det(A) * det(B)

Hur beräknas det(A⁻¹)? det(A⁻¹) = 1/det(A)

Hur ges element Xₖ, k:te elementet i X, av Cramers regel i ekvationen AX=Y? Xₖ = det[A₁, ..., Aₖ₋₁, Y, Aₖ₊₁, ..., Aₙ]/det(A)

Vad gäller angående avbildningsmatriser och lineära avbildningar? alla lineära avbildningar kan uttryckas enligt: F(X) = AX

Vad ger kolonnerna i en avbildningsmatris? hur korresponderande basvektor avbildas

Vad gäller för: projektioner? P² = P

Vad gäller för: speglingar? S² = E

Vad gäller för determinanten av en lineär avbildning? determinanten blir samma oavsett val av bas

Vad gäller för en projektion med avbildningsmatris A? projektion på V(A) parallellt med N(A)

Vad gäller för: projektion med symmetrisk matris ortogonal projektion

Definiera: symmetrisk lineär avbildning (F(u) | v) = (u | F(v))

Hur definieras en spegling? S(v) = v - 2*P⊥(v)

Definiera: isometri F: V → V; |F(u)| = |u| (vinklar/skalärprodukter behålls)

Definiera: egenvektor och egenvärde vektorer ≠ 0; enbart skaleras med egenvärdet vid avbildning

Hur hittas egenvärden (och därav egenvektorer) till en avbildning med matris A? Lös: det(A-λE) = 0

Återge hur volymen av en tetraeder beräknas. (1/6)*|det(u, v, w)|

Återge hur arean av en triangel beräknas. (1/2)*|u 𝔁 v|

Återge formeln för en triangels tyngpunkt P. OP = (1/3)*(OA + OB + OC)

Återge formeln för en tetraeders tyndpunkt P. OP = (1/4)*(OA + OB + OC + OD)

Definiera: diagonalisering av matris A A = TDT⁻¹, där D är en diagonal matris

Definiera: algebraisk multiplicitet för visst egenvärde multipliciteten av nollstället till K.E

Defiera: geometrisk multiplicitet för visst egenvärde dimN(A-μE) för visst egenvärde μ

När är en matris A diagonaliserbar? (ALT bas av egenvektorer) geom.mult(μ) = alg.mult(μ) för alla egenvärde μ

Återge: Spektralsatsen för matrisen A symmetrisk ↔ finns ON-bas av egenvektorer

Återge: Spektralsatsen för lineära avbildningar F F symmetrisk ↔ finns ON-bas av egenvektorer

Vad är fördelen med diagonalisering? enkel beräkning av potenser + kägelsnittsberäkning

Definiera: kvadratiska former, q(X) polynom med n variabler med varje terms deg=2

Ge exempel på en kvadratisk form. Ex: x² + y² + 3xy

Hur kan kvadratiska former ALLTID skrivas? Xᵀ * A * X

Vad gäller för ALLA skalärprodukter i ALLA Euklidiska rum? (u | v) = |u||v|*cos(α)

Vad bör man tänka på vid projecering på underrum? kan vara enklare att proj. på ortogonala komplementet

Click

Type

Listen

Games

Drucken