Tenta

All None Speichern

• Vad är maclaurinutveckling? Vi approximerar funktioner till polynom
• Vad säger ordningen av maclaurinpolynomet? Hur många de3rivator som överrensstämmer med funktionen vi eftersträvar
• Hur ser det generella maclaurinpolynomet ut? pn(x) = f(0) + f'(0)x + (f''(0) x^2)/2! + (f'''(0) x^3)/3! + ... (fn(0) x^n)/n!
• Vad innebär lagranges restterm? Då polynomet inte har oändligt många termer --> (f(x)-p(x)) = R(x)
• Vad är R(x)? ((f(n+1) (α)) * x^(n+1))/(n+1)!, x<α<0 alt. α = θx 0<θ<1
• Man kan med hjälp av lagranges restterm bevisa att denna är mindre än ett visst värde X. Vad ska man tänka på? Att utgå från "värsta scenariot", dvs då θär som störst/minst
• Fungerar substituering vid utvcekling av maclaurinpolynom? Ja, och bör användas då utveckling av hög grad skall göras
• Resttermen kan skrivas på en svagare form: B(x). När kan detta användas? Då vi utgår från storleksordning, dvs gränsvärden. Notera B(x) begränsad
• Hur långt ska man utveckla för att ta fram gränsvärdet? Restterm B(x) med en potens av x framför efter förkortning
• Maclaurinserier ger endast bra approximationer nära 0. Taylorutveckling används då vi inte befinner oss vid 0. Hur ser taylorutvecklingen ut? Som maclaurin: t = (x-a), istället för f(0) är det f(a), α ligger mellan a och x.
• Om maclaurinpolynom efterfrågas vad ska vara med? Hela polynomet men INGEN rest
• Vad sker grafiskt då vi får konjugatet av a + bi det speglas i x-axeln
• Vilka 3 räkneregler finns för komplexa tal i absolutbelopp? Notera zk är konjugatet av z 1. |z|^2 = z*zk 2. |zw| = |z|*|w| 3. |z + w| = |z| + |w|
• Vad ska man göra dåman har komplexa tal i bråkform? Färläng med nämnarens konjugat
• Hur går man från rektangulär from till polär form? Man räknar ut |z| och bryter ut dett från rektangulärform och får fram arg
• Vad sker i polär from då 2 komplexa tal multipliceras? Längden är produkten av de 2 talens läng och argumentet adderas
• Vad är de Moivres formel? (e^(iθ))^n = e^niθ, dvs längden blir r^n och argumentet blir arg*n
• Vad är eulers formel för sin(θ)? (e^iθ - e^-iθ)/2i
• Vad är eulers formel för cos(θ) (e^iθ + e^-iθ)/2
• Gäller potensregler för e^z då z är komplext? Ja, dvs e^u*e^v = e^(v+u)
• Vi kan använda pq-formeln för att lösa andragradare, men vad gäller för koifficenterna? Koifficenterna måste vara reela för att vi ska kunna använda pq
• När vi löser komplexa ekvationer av högre grad kan det blir många olika variabler. Hur får vi tillräckligt många ekvationer? Im z, Re z, absolutbeloppet av z (a^2 + b^2)
• Om vi har komplexa ekvationer fär koifficenterna är komplexa, vad bör göras? 1. polynomdivision vid given rot 2. faktorsatsen 3. binomialsatsen (vid antal lösningar)
• När vill vi lösa komplexa ekvationerna i polär form? Då vi har högre grad än 2
• Vid primitiva funktioner korrigerar vi för att inre deribvatan ska stämma. Vad får vi korrigera med? Vi får ENDAST korrigera med konstanter (annars kvotregeln --> fel)
• När ska "smart" variabelbyte användas? Då vi ser inre derivatan.
• Vad ska man göra då man inte ser inre derivatan vid primitiva funktioner? Testa, och lös ut på andra hållet (dx = ...)
• Vad är partialintegrering? ∫f(x)g(x)dx = F(x)g(x) - ∫F(x)g'(x) dx
• När ska partialintegrering användas? Då vi inte vet en funktions primitiva funktion (ex. ln) då vi får g'(x)
• Iblnad vid partialintegrering går vi en cirkel och kommer tillbaka till ursprungsläget. Vad kan man göra då? Flytta runt om likhetstecknet och få fram vad A∫f(x) är och dividera med A
• Vad ska man göra för att hitta primitiv vid rationella funktioner? p.dividera, faktorisera nämnare, part.uppdelning, primitiv till varje term
• Det finns 2 olika fall vid partialbråksuppdelning. Vad gäller då vi får förtagradstermer? Vad gäller då vi får andragrandstermer? 1. A/(x-a) + B(x-a)^2 ... 2. (Ax + B)/(x^2 + ax + b)
• Vid primitiver till trig. uttryck bör man kunna trig. formler, men det finns andra knep. Vad ska man göra då vi har rationellt uttryck med cos och sin? Variabelbyte tan (x/2) = t
• Vad ska man göra vid funktion av udda potenser av cos/sin? Bryt ut sin/cos få jämn potens och skriv om med trig.1, substituera det i trig.ettan till t
• När vi ska hitta primitiv till uttryck med jobbig rot, vad kan man substituera då? sqrt(x + a) = t, sqrt(x^2 + a) + x = t
• När används integraler vid problemlösning? Då vi har produkt av saker som inte är konstanta (förändrad massa/volum/sträcka osv)
• Är alla funktioner integrerbara? Nej, endast varje kontinuerlig funktion är integrerbar (kompakt intervall)
• Vad är reimannsummor? Trappfunktion som skär graf i medelvärde på varje steg (f(Bk)*(xk-xk-1)
• Hur blir reimannsumman precis samma som integralen av f(x)? Då vi låter trappfunktionens indelning bli så liten som möjligt
• Vad säger anaölysens huvudsats? Kopplar samman integraler och derivator
• Vad är insättningsformeln? S(b) = F(b) - F(a)
• Vad ska noteras vid variabelbyte om vi beräknar integraler? Att även byta gränserna så de stämmer för t (x --> X så går t mot ...)
• Det finns generaliserade integraler: Vad ska man göra för oändligt intervall men begränsade funktionsvärden? Se om den är konvergent/divergent, dvs se om den får ändlig area
• Vad ska man göra för obegränsad integrand men begränsat intervall? Ta gränsvärdet då a + ε se vad ε --> då (a+ε)--> ∞
• Vad ska man göra om flera farligheter uppstår på en generaliserad integral? Den skall delas upp. Hela integralen är konvergent om alla delar är konvergenta
• Vid jämförelse av integraler bör man... Rita upp graferna för att förstå vad som händer. Vilken area ör störst?
• Vad bör göras om vi får absolutbelopp i vår integral? Dela upp i olika fall då x har olika tecken
• Vid koppling mellan summa och integral kan en figur ritas upp. Beskriv denna och förklara vad som gäller. Staplar över f(x) = Σf(x) från 1 till (n-1) Staplar under f(x) = Σ från 2 till n
• Vilken olikhet medför kopplingen mellan summor och integraler? Alla staplar - f(1) < ∫f(x)dx < alla staplar - f(n), n--> ∞
• Vad kan förhållande mellan summor och integraler användas till? Bevisa att summor är </> än X
• Vad är formlen för en rotationsvolym? V = ∫πf^2(x)
• Vad är formlen för beräkning av tyngdpunkt och hur skall denna användas? Xt = 1/M * ∫xdm, M = ρA
• Vad mer kan uttnytjas vid beräkning av tyngdpunkt? Symmetrier --> räkna i färre dimensioner
• Vad är formeln för bågelementet och vad är det? L = ∫sqrt((x(t))2 + (y(t))^2)dt, kurvlängden
• Bågelemtet kan användas i polär form? När? Då vi har cirkelformade funktioner
• Vad är formeln för rotationsarea? Vad är bågelementet ds? A = ∫2πf(x)ds, ds=sqrt(1 + (f'(x))^2)
• Varför måste man ta hänsyn till ds? Då felet inte förvsninner med små dx, alltid sqrt(2) faktor fel
• Vad menas med integraluppskattning? Använd trappa över/under och rita figur/jämför
• Vid jobbig primitiv av sqrt(a - x^2) ska man...? utnyttja att skapa trigetta, substituera x = (sin t)/2
• Vad menas med hastighet propertionell mot ...? Att y'(t) = k*y(t)
• Att innebär det att lösa en difffekvation? Att lösa ut vad y är, dvs hitta f(x)
• Om vi har både funktiopn och derivata där y inte är upphöjt med eller själv upphöjt finns en metod. Vad ska man göra Förlänga med IF (e^det framför y) och samla vänsterled i en derivata (e^det framför y*y)'
• Vad är minnesregeln för lösning av diffekvationer då vi har y^a? g(y)*dy/dx = h(x) <--> g(y)dy = h(x)dx <--> G8y) = H(y) + C
• Vad är integralekvationer och hur löses dessa? Diff.ekvationer som innehåller integraler och löses m. analysens huvudsats
• Vid diffekvationer av högre ordning kan vi inte lösa som de av första ordningen. Vad ska man göra istället? Först lösa homogen lösning sen partikulär lösning
• Hur löses homogen lösning? Mha karakteristiska ekvationen
• Hur ser homogen lösning ut om 1.) 2 olika reela lösning, 2.) dubbelrot och 3.) komplexa lösningar? 1. Ce^rx + De^sx 2. (Cx + D)e^rx 3. e^Rex(Acos(Imx) + Bsin(Imx)
• Vad ska ansättning vara för att hitta yp vid polynom/konstant? y = C alt. y = Ax + B ... (samma grad som diffekvation)
• Vad ska ansättning vara för att hitta yp vid polynom*e^ax? Sätt polynom till z(x) och "stryk) e-term. Ansätt z till Ax + B och lös ut yp
• Vad ska ansättning vara för att hitta yp vid polynom*cos/sin(Wx)? Lös p(x)e^iWx som vid *e^ax, om Re yp --> p(x)cosWx om Im yp --> p(x)sinWx
• Olika system kan ha olika därmpningar. Vad gäller vid 1. svag dämpning? 1. y(t) = e^at(AcosWt + BsinWt) = e^at*Csin(Wt + u)
• Olika system kan ha olika därmpningar. Vad gäller vid 2. mellan dämpning och 3. stark dämpning? 2. (At + B)e^rt 3. Ce^rt + De^st
• Vad bör göras först vid läsetal på diffekvationer? Kolla vad funktionen ska vara och kolla vad förändringen är

All None Speichern