[M] Endimensionell Analys β1

Definiera: naturliga talen, ℕ {1, 2, 3, ...}

Definiera: rationella talen, ℚ p/q; p, q är heltal

Definiera: primtal tal >= 2 som endast delas av 1 och sig själv

Återge aritmetikens fundamentalsats. "alla naturliga tal kan primtalsfaktoriseras entydigt"

Definiera: indirekt bevis bevisa A --> B genom ¬B --> ¬A

Definiera motsägelsebevis antag ¬A och visa att detta ger motsägelse, vilket bevisar A

Definiera: aritmetisk summa summa av talföljd med konstant differens

Definiera: geometrisk summa summa av talföljd med konstant kvot

Återge: formeln för aritmetisk summa n*(a₁ + aₙ)/2

Återge: formeln för geometrisk summa (1-xⁿ)/(1-x)

Återge: induktionsprincipen, dvs hur induktionsbevis genomförs 1. Bevisa P(1), 2. Bevisa P(n) --> P(n+1)

Vad bör man vara uppmärksam vid rotekvationer? falska rötter

Hur bör olikhetsberäkning med rationella funktioner göras? flytta över allt och gör teckentabell vid täljaren och nämnarens nollställen

Återge: Bernoullis olikhet (1+x)ⁿ > 1+nx; n >=2, n∈Z, x > (-1), x ≠ 0

Återge: aritmetisk-geometriska olikheten geometriska medelvärdet < aritmetiska medelvärdet

Återge hur Binomialkoefficienter/"choose" beräknas. (ⁿₖ) = n!/(k!(n-k)!)

Återge räknereglerna för binomialkoefficienter/"choose". (ⁿₖ) = (ⁿₙ₋ₖ)

Återge: Pascals identitet (tänk på Pascals triangel) (ⁿₖ) = (ⁿ⁻¹ₖ₋₁) + (ⁿ⁻¹ₖ)

Hur är (⁰₀) definierat? (⁰₀) = 1

Återge: Binomialsatsen (a+b)ⁿ = ₖ₌₀∑ₙ (ⁿₖ)aⁿ⁻ᵏ * bᵏ

Vad bör man notera angående binomialkoefficienter och "koefficienter"? koefficienter inkluderar binom.koeff och andra faktorerna

Återge: triangelolikheten |a+b| <= |a| + |b|

Återge: omvända triangelolikheten |a-b| >= | |a| - |b| |

Definiera: konvergens följd/funktion närmar sig bestämt värde

Definiera: divergens följd/funktion närmar sig +/-∞

Definiera: begränsad funktion/talföljd ∃c>0; |f| <= c (dvs divergerar ej)

Definiera: gränsvärde A för funktion/följd f(x); x-->c ∀ε>0; ∃δ; 0<|x-c|<δabs ⇒ (|f(n)-A| < ε)

Vilka räkneregler gäller för gränsvärden a-->A och b-->B? (a+b)→A+B, c*a→cA, (a*b)→A*B, (1/a)→1/A

Vad bör man vara uppmärksam om angående gränsvärdes beräkning? allt i uttrycket måste gå i gräns SAMTIDIGT!!!

Definiera: oändligheten (a→∞) ⇔ (för varje A>0 finns N så att a(n)>A om n>N)

Återge: instängningssatsen (a<b<c ∧ a→k ∧ c→k) ⇒ (b→k)

Definiera: serie summa med oändligt antal termer

Definiera: monoton konvergens strängt växande/avtagande och uppåt/neråt begränsad funktion/talföljd

Definiera: Eulers tal, e e = lim n→∞ (1+1/n)^n, ALTERNATIVT: 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! +...

Definiera: definitionsmängden mängd av alla input-värden till funktion

Definiera: värdemängden mängd av alla output-värden från en funktion

Definiera: målmängden mängd som funktion avbildas på

Definiera: strängt växande x₂ > x₁ ⇒ f(x₂) > f(x₁)

Definiera: växande x₂ > x₁ ⇒ f(x₂) >= f(x₁)

Definiera: strängt avtagande x₂ > x₁ ⇒ f(x₂) < f(x₁)

Definiera: avtagande x₂ > x₁ ⇒ f(x₂) <= f(x₁)

Definiera: strängt monoton strängt växande eller strängt avtagande

Definiera: monoton växande eller avtagande

Vad gäller för alla strängt monotona funktioner? de är injektiva

Definiera: injektiv f(x₁) = (x₂) ⇒ x₁ = x₂ (varje y-värde har endast ett korresponderande x-värde)

Vad krävs för att en funktion ska vara inverterbar? den ska vara injektiv

Vad gäller för funktioner och deras inversers definitions- och värdemängd? Df = Vf^-1 och Vf = Df^-1

Om vi har x(y) explicit definierat, hur kan det då visas att y(x) är definierat? visa att x(y) är injektiv

Definiera: jämn funktion f(-x) = f(x); för alla x

Definiera: udda funktion f(-x) = -f(x); för alla x

Om: polynom har heltalskoefficienter och rationell rot p/q. Vad gäller då? p/lägsta koeff. och q/högsta koeff.

Definiera: cosh(x) cosh(x) = (eˣ + e⁻ˣ))/2

Definiera: sinh(x) sinh(x) = (eˣ - e⁻ˣ)/2

Definiera: tanh(x) tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)

Återge: hyperboliska ettan cosh²(x) - sinh²(x) = 1

Definiera: periodisk funktion, period T f(x) = f(x + T) för alla x

Återge: hjälpvinkel-metodens formulering cos(t) + sin(t) = A*cos(t-φ)

Definiera: cotangens, cot(x) cot(x) = 1/tan(x) = cos(x)/sin(x)

Nämn 3 trick för gränsvärdes beräkning. 1. bryt ut snabbast växande, 2. förläng med konjugatet, 3. hitta begränsade funktioner

Vad krävs för att ett gränsvärde ska existera? lim x→a⁺ f(x) = lim x→a⁻ f(x)

Vad bör man tänka på angående variabelbyte vid gränsvärdesberäkning? att ändra vad variabeln går mot

Bestäm: lim x→0 ln(1+x)/x 1

Bestäm: lim x→0 (eˣ - 1)/x 1

Bestäm: lim x→0⁺ xᵃ * ln(x); a > 0 0

Bestäm: lim x→0 sin(x)/x 1

Hur kan lim x→0 sin(x)/x = 1, bevisas? använd areasamband för att få: sin(t) < t < tan(t); 0<t<pi/2

Definiera: kontinuitet lim x→a f(x) = f(a) ger att f är kontinuerlig i a

Vilka räkneregler gäller för kontinuitet? cf, f+g, fg, f/g, fog

Vad gäller angående "språng" och kontinuerliga funktioner? får ej göra språng i DEFINITIONSMÄNGDEN (med ok utanför)

Återge: inkapplingssatsen i nästlade slutna intervall finns ett värde som ligger i alla intervallen

Återge: Bolzanos sats om mellanliggande värden för slutna intervall om C ligger mellan f(a) och f(b) finn c i [a, b] så att: f(c) = C

Hur bestäms normalsens riktningskoeff. kₙ? k*kₙ = (-1); k är tangentens riktningskoeff.

Definiera: deriverbarhet gränsvärdet för derivatans def. ska existera (dvs samma från båda hållen)

Vad gäller angående deriverbarhet och kontinuitet? deriverbarhet ⇒ kontinuitet

Återge: produktregeln D(fg) = f*D(g) + g*D(f)

Återge: kedjeregeln D(f(g)) = Df(g) * D(g)

Derivera: sin(x) cos(x)

Derivera: cos(x) -sin(x)

Derivera: ln( |x| ) 1/x

Återge: formeln för cirkelns area πr^2

Återge: formeln för cirkelns omkrets 2πr

Rangordna polynom, exp och logaritmer i väx-hastighet. exponential, polynom, logaritmer

När konvergerar geometriska summor? då abs(kvoten) < 1

Återge: derivatan av invers D(f⁻¹(y)) = 1 / (D(f(x))

Definiera: stationär punkt punkt där derivatan är 0

Definiera: kritisk punkt punkt där derivatan är 0 ELLER ej existerar

Återge: medelvärdessatsen f kont. i [a, b] ger att finns punkt med medellutningen som lutning

Click

Type

Listen

Games

Print