[Ö] Flerdimensionell Analys

Definiera nivåkurva/yta. f(x, y) = c eller f(x, y, z) = c; c är konstant

Definiera parametrisering. yta beskriven av: (x, y, ...) = φ(a, b, ...); där a, b, ... är parametrar

Tänk över hur cylinder och polära koordinater fungerar/definieras. (har tänkt över)

Definiera riktningsderivatan, df(a̅)[e̅], för funktionen f, i punkten a̅, i riktningen e̅. df(a̅)[e̅] = g'(0); g(t) = f(a̅+te̅)

Definiera differentialen, df(a̅)[e̅]. Riktningsderivatan till f i given punkt som funktion av riktningen e̅

Vilka 3 regler gäller för differentialen? 1. lineäritet, 2. produktregeln, 3. kedjeregeln

Definiera partiella derivator. Derivata där alla variabler utom den givna hålls konstant

Tänk över hur differentialen blir för funktioner med flera variabler SAMT för vektorvärda funktioner. (har tänkt över)

Differentialen är en lineär avbildning av kolonnverktorn som anger riktningen. Hur kan denna matris bildas? av funktionens partiella derivator

Vilket krav finns på differentialen - dvs varför kan inte alla funktioner av riktningsderivatorna användas? differentialen är definierad som LINEÄR

Återge kedjeregeln i flerdim. d(f̅(g̅)) (a̅) [e̅] = df̅ (g̅(a̅)) [ dg̅(a̅)[e] ]

Återge satsen om differentierbarhet för en funktion f. om def.mängd öppen och kontinuerlia part.deriv --> diff.bar

Definiera operatornormen, IIAII, för matris. största längdförändringen vid avbildning med matrisen

Hur hittas tangentplan, i punkt (a, b), till: funktionsyta z = f(x, y)? z = f(a, b) + df(a, b)[(x, y) - (a, b)]

Hur hittas tangentplan, i punkt (a, b), till: nivåyta f(x, y) = c? ∇f ger normalvektor --> bilda plan i punkten (a, b)

Hur hittas tangentplan, i punkt (a, b), till: parametriserad yta? kryssprod. av partiella derivator ger normalvektor till tangetplan

Definiera gradienten, grad(f) / ∇f. differentialen som vektor, i riktning där f växer som snabbast

Hur förhåller sig nivåkurvor/ytor med gradienten till en funktion f? ∇f vinkelrät mot nivåkurvan/ytan, dvs går rakt ut från dem

Hur hittas vägen med brantast stigning för funktion f(x, y) från punkt (a, b)? låt d/dt(x(t), y(t)) = λ(t) * ∇f(x(t), y(t)); dvs funktion alltid parallell med ∇f

Återge inversa funktionssatsen för funktion f. f:s differential är inverterbar i a̅ --> f inverterbar i öppet intervall kring a̅

Återge varför implicita funktionssatsen används. vill se om f(x, y,...) = c låter någon variabel beskrivas som funk. av andra

Återge hur implicita funktionssatsen används i praktiken. antag beskrivandet av variabel i andra går --> derivera --> får krav för detta

Definiera C^k. funktioner med kontinuerliga partiella derivator av ordning k

Vad gäller för partiella derivator av ordning k till en funktion i C^k (på ett visst intervall)? kan byta ordning på partiella deriveringarna

Definiera kvadratiska former. polynom där alla termer har grad 2, ex: x^2 + xy + z^2

Hur kan alla kvadratiska former skrivas? x^T*Q*x; Q symmetrisk matris

För kvadratisk form, definiera: positivt definit positiv överallt, endast 0 i origo

För kvadratisk form, definiera: negativt definit negativ överallt, endast 0 i origo

För kvadratisk form, definiera: positivt semidefinit positiv/noll överallt, 0 inte bara i origo

För kvadratisk form, definiera: negativt semidefinit negativ/noll överallt, 0 inte bara i origo

För kvadratisk form, definiera: indefinit kvad.form kan vara BÅDE positiv och negativ

Vilka 2 metoder finns för att avgöra en kvadratisk forms karaktär? 1. kvadratkompletering, 2. diagonalisering/egenvärden

Vad gäller för en kvadratisk forms egenvärden och dess karaktär? enbart positiva (resp. negativa) egenvärden ger positivt (resp. negativt definit)

Vad gäller för egenvärden λ och en matris, A:s, determinant och spår? det(A) = λ1*λ2, tr(A) = λ1 + λ2

Definiera en matris spår, tr(A). summan av diagonalelementen

Definiera: stationär punkt (a, b) ∇f(a, b) = 0̅

Vad gäller för stationära punkter där Hessianen är: positivt definit lokalt minima

Vad gäller för stationära punkter där Hessianen är: negativt definit lokalt maxima

Vad gäller för stationära punkter där Hessianen är: positivt/negativt semidefinit semidefinit ger ingen information (--> använd annan metod)

Vad gäller för stationära punkter där Hessianen är: indefinit sadelpunkt

Återge Tarlorutvecklingen av ordning 2 av f(x̅) kring punkten a̅. f(x̅) = f(a̅) + df(a̅)[x̅-a̅] + (1/2)*[x̅-a̅]^T*f''(a̅)*[x̅-a̅]

Vilka 2 saker får man ej glöma vid Taylorutveckling av ordning 2? 1. dela på 1/2 för kvad.formen, 2. [x̅-a̅] är input i diff. och kvad.formen

Definiera: Hessianen matrisen med en funktions alla partiella derivator av ordning 2

Hur löses partiella differentialekvationer med kända variabelbyten? beräkna nya part.deriv. med kedjeregeln --> substituera in i ekvationen

Definiera: kompakt område slutet område på vilken funktionen är begränsad

Vad gäller för funktioner och kompakta områden? funktionen kommer ha största/minsta värde där

Hur optimeras funktion på kompakt område? (Dvs var hittas potentiella max/min?) 1. stationära punkter i omr., 2. på randen

Hur undersöks ett kompakt områdes rand? 1. parametrisering, 2. se randen som bivillkor

Hur optimeras funktion på icke-kompakta områden? bilda kompakt område --> låt randen gå mot ∞ (visa blir ej större på randen)

Hur optimeras funktion, f, med bivillkor g=0? i max/min gäller: ∇f II ∇g (för skärningar: ∇f, ∇g1, ∇g2 är lin.beroende)

Hur definieras dubbelintegralen över ett område? "volymen under funktionsytan på området"

Vad gäller för funktioner som är kontinuerliga på slutet område de är integrerbara där

Hur kan en area av ett område ges? ∫∫ 1 dx dy

Vad måste man göra vid variabelbyte? 1. ändra område, 2. multiplicera abs av med funktionaldeterminanten

Hur beräknas generalliserade integraler som ej växlar tecken? bilda område, vars storlek låtes gå mot ∞

Hur beräknas generalliserade integraler som växlar tecken? dela upp i områden, båda måste konvergera för att hela ska konvergera

Återge kedjeregeln för funktionalmatriser. f'(t) = f'(g(t)) * g'(t)

Skriv om: sin^2(x) (1-cos(2x))/2

Skriv om: cos^2(x) (1+cos(2x))/2

Click

Type

Listen

Games

Print